牛頓迭代法（簡(jiǎn)寫(xiě)）就是一種近似求解實(shí)數(shù)域與復(fù)數(shù)域求解方程的數(shù)學(xué)方法。那么這個(gè)方法是具體是什么原理呢？本篇文章將會(huì)介紹如何用牛頓迭代法（Newton's method for finding roots）求方程的近似解，該方法于17世紀(jì)由牛頓提出。

具體的任務(wù)是，對(duì)于在[a,b]上連續(xù)且單調(diào)的函數(shù)f(x)，求方程f(x)=0的近似解。

牛頓迭代如何迭代？

直接看數(shù)學(xué)公式描述如何迭代不直觀，先來(lái)看動(dòng)圖就很容易理解牛頓迭代法為什么叫迭代法以及怎樣迭代的：

牛頓迭代法是原理是根據(jù)一個(gè)初始點(diǎn)(x0,f(x0))在該點(diǎn)做切線，切線與X軸相交得出下一個(gè)迭代點(diǎn)x1的坐標(biāo)，再在(x1,f(x1))處做切線，依次類推，直到求得滿足精度的近似解為止。

由前面描述知道，牛頓迭代法是用來(lái)近似求解方程的，這里有兩個(gè)點(diǎn)需要說(shuō)明：

（1）為啥要近似求解？很多方程可能無(wú)法直接求取其解

（2）迭代法非常適合計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)，實(shí)際上計(jì)算機(jī)編程對(duì)于牛頓迭代法廣為應(yīng)用

來(lái)看看，數(shù)學(xué)上如何描述的？

其中為函數(shù)在處的一階導(dǎo)數(shù)，也就是該點(diǎn)的切線。

來(lái)簡(jiǎn)單推一推上面公式的由來(lái)，直線函數(shù)方程為：

知道一個(gè)直線的一個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)以及斜率則該直線的方程就很容易可以得知：

那么該直線與x軸的交點(diǎn)，就是也即等式x的解：

啥時(shí)候停止迭代呢？

1. 計(jì)算出；

2. 給出一個(gè)初始假定根值，利用上面迭代式子進(jìn)行迭代

；

3. 計(jì)算絕對(duì)相對(duì)迭代近似誤差

4. 將絕對(duì)相對(duì)近似誤差與預(yù)定的相對(duì)誤差容限進(jìn)行比較。 如果，則迭代步驟2，否則停止算法。 另外，檢查迭代次數(shù)是否已超過(guò)允許的最大迭代次數(shù)。 如果是這樣，則需要終止算法并退出。另一個(gè)終止條件是：

$$|f(x_{i+1})|如何編碼呢？

由于牛頓迭代法主要目的是解方程，當(dāng)然也有可能用于某一個(gè)數(shù)學(xué)函數(shù)求極值，所以無(wú)法寫(xiě)出通用的代碼，這里僅僅給出一個(gè)編代碼的思路。相信掌握了思路，對(duì)于各種實(shí)際應(yīng)用應(yīng)該能很快的寫(xiě)出符合實(shí)際應(yīng)用的代碼。

假定一函數(shù)為：

其波形圖如下：

其一階導(dǎo)數(shù)為：

那么對(duì)于該函數(shù)的根：

從圖上大致可以知道有兩個(gè)根，如果直接解方程，則很難求出其根，可以編個(gè)代碼試試：

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>

/*假定待求根函數(shù)如下*/
#define    F(x)    (2*(x)*(x)-10*cos(x)+(x)-80)

/*其一階導(dǎo)數(shù)為*/
#define   DF(x)    (4*(x)+10*sin(x)+1)

float newton_rooting(float x0,float precision,float min_deltax,int max_iterations)
{
     float xn,xn1,fn,fn1,dfn;
     float deltax;
     int step = 0;
     xn  = x0;
     xn1 = x0;
     do{
       xn  = xn1;
       fn  = F(xn);
       dfn = DF(xn);
       /*判0*/
       if( fabs(dfn) <1e-6 )
       {
            if( fabs(fn)>precision )
                return NAN;
            else
                return fn;
       }

       xn1 = xn - fn/dfn;
       fn1 = F(xn1);
       deltax = fabs(xn1-xn);
       
       step++;
       if( step>max_iterations )
       {
           if( fabs(fn1)<precision )
               return xn;
           else
               return NAN;
       }
     }
     while( fabs(fn1)>precision || deltax>min_deltax );

     return xn1;
}

void main()
{
     float root_guess = 23.0f;
     float precision = 0.00001f;
     float min_deltax = 0.001f;
     float root;
     int step = 7;

     root = newton_rooting( root_guess,precision,min_deltax,step );
     printf("根為: %f,函數(shù)值為：%f\n", root,F(root));

     root_guess = -23;
     root = newton_rooting( root_guess,precision,min_deltax,step );
     printf("根為: %f,函數(shù)值為：%f\n", root,F(root));
}

結(jié)果：

根為: 6.457232, 函數(shù)值為：0.000004
根為: -6.894969,函數(shù)值為：-0.000008

函數(shù)值已經(jīng)很接近于0了，如果還需要更為精確的值，則可以選擇在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步求解，比如利用二分法逼近。

需要注意些啥？

求斜率可能為0，如為0時(shí)，則可能找到了函數(shù)的極值，比如：

如果選擇的初始猜測(cè)根的接近方程f(x)=0中函數(shù)f(x)的拐點(diǎn) ，Newton-Raphson方法可能開(kāi)始偏離根。 然后，它可能會(huì)又收斂回到根。例如：

如果選擇的初值不合適，可能會(huì)跳掉一些根，比如：

所以實(shí)際應(yīng)用時(shí)，需要知道自己待求解模型的大致情況，在合理的加以調(diào)整。

有哪些應(yīng)用？

比如知道某系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，待求解其中的參數(shù)，可以將上述方法推而廣之，求解多維變量方程組，求導(dǎo)就變成求偏導(dǎo)了

又比如設(shè)計(jì)一電路測(cè)量某物質(zhì)的阻抗

....

總結(jié)一下

牛頓迭代法在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，利用迭代求方程近似根的數(shù)學(xué)原理，在工程中有著很好的實(shí)用價(jià)值。比如求一個(gè)趨勢(shì)的極值，傳遞函數(shù)參數(shù)辨識(shí)等都有廣泛的實(shí)際應(yīng)用。