反演本質(zhì)上是一種幾何變換，常見的幾何變換還有平移、旋轉(zhuǎn)、反射……

反演變換適用于題目中存在多個(gè)圓/直線之間的相切關(guān)系的情況。利用反演變換的性質(zhì)，在反演空間求解問題，可以大幅簡化計(jì)算。這篇文章主要介紹反演的定義和一些常用性質(zhì)

一、定義

設(shè)O是平面π上的一個(gè)定點(diǎn)，k是一個(gè)非零常數(shù)，如果平面π的一個(gè)變換，使得對于平面π上任意異于點(diǎn)O的點(diǎn)A與其像點(diǎn)A'，恒有

（1）A'，O，A共線

（2）

則這個(gè)變換稱為平面的一個(gè)反演變換，記作I(O,k)，其中定點(diǎn)O稱為反演中心，常數(shù) k 稱為反演冪，點(diǎn)A'稱為A的反點(diǎn)；

反演中心本身不參與反演變換，反演后，反演中心O仍記為O；

當(dāng)反演冪k>0時(shí)，反演變換I(O,k)稱為雙曲型反演變換；當(dāng)k<0時(shí)，反演變換I(O,k)稱為橢圓型反演變換；

對于反演變換I(O,k)，令，則以反演中心O為圓心，r為半徑的圓稱為反演變換I(O,k)的反演圓或基圓，r稱為反演半徑。

就像下面這樣

（這是反演冪k大于0的情況，k小于0的情況類似）

二、性質(zhì)

性質(zhì)1：反演變換可逆

由反演的定義可知，當(dāng)A'是A的反點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A也是A'的反點(diǎn)，所以點(diǎn)A與點(diǎn)A'互為反點(diǎn)

性質(zhì)2：

（1）位于反演圓上的點(diǎn)，保持在原處；

（2）位于反演圓內(nèi)的點(diǎn)，變換為反演圓外的點(diǎn)；

（3）位于反演圓外的點(diǎn)，變換為反演圓內(nèi)的點(diǎn)；

以上是每個(gè)點(diǎn)經(jīng)過反演后的性質(zhì)，接下來我們討論直線和圓經(jīng)過反演后的圖形

性質(zhì)3：

（1）過反演中心的直線反演后為自身（不包含反演中心）

（2）不過反演重心的直線，反演后為過反演中心的圓

性質(zhì)4：不過反演中心的圓，反演后仍為一個(gè)圓，且與原來的圓關(guān)于反演中心位似

（注意，這里的的反演點(diǎn)并不是，這里加虛線的意思僅表示兩圓關(guān)于點(diǎn)O位似）

性質(zhì)5：過反演中心的圓，反演后為不過反演中心的一條直線，且該直線平行于原來的圓在反演中心處的切線

然后反演還有一個(gè)非常重要的性質(zhì)

性質(zhì)6：兩條直線或曲線的夾角大小在反演變換下是不變的

當(dāng)然，如果敘述完整，引入有向角的概念，那么反演后的夾角大小相等，方向相反

這一性質(zhì)通常也被稱為反演的反向保角性。

大家掌握這些基本知識，就可以用反演變換解決平面幾何的相關(guān)問題了。