復(fù)數(shù)的引入，追根求源，最初是為了求解沒有實(shí)數(shù)根的二次方程。例如求解

這個(gè)由實(shí)數(shù)組成的方程，顯然沒有實(shí)數(shù)根。所以復(fù)數(shù)集可以看成實(shí)數(shù)集合的一個(gè)自然擴(kuò)充。

首先引入一個(gè)“新數(shù)” i。使它滿足

也就是說 i 是

的解。

我們?cè)俳o復(fù)數(shù)定義：形如 z=a+bi的數(shù)就是復(fù)數(shù)。其中 a和b分別叫做復(fù)數(shù) z 的實(shí)部和虛部。

注意，b才是虛部， bi不是虛部。

記作：a=Re(z),b=Im(z)

復(fù)數(shù)z=a+bi的分類

當(dāng)虛部b=0時(shí)，復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)；

當(dāng)虛部b!=0時(shí)，復(fù)數(shù)z是虛數(shù)；

當(dāng)虛部b!=0，且實(shí)部a=0時(shí)，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)。

一些集合的記號(hào)

R——實(shí)數(shù)集，C——復(fù)數(shù)集

P——虛數(shù)集，Q——純虛數(shù)集

有下列關(guān)系：

R∩P=?

R∪P=C

Q?P?C

復(fù)數(shù)相等的充分必要條件

設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù)分別為z1=a+bi，z2=c+di，而二者相等的充分必要條件是a=c而且b=d。

化虛為實(shí)是復(fù)數(shù)問題的通性通法

復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則

對(duì)于兩個(gè)復(fù)數(shù)z1=a+bi，z2=c+di

z1+z2=(a+c)+(b+d)i

z1?z2=(a?c)+(b?d)i

z1×z2=(a+bi)(c+di)=(ac?bd)+(ad+bc)i

復(fù)數(shù)的運(yùn)算定律

復(fù)數(shù)的加法滿足交換律，結(jié)合律。

也就是z1+z2=z2+z1

(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)

復(fù)數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律，以及乘法對(duì)于加法的分配律。也就是

z1×z2=z2×z1

(z1z2)z3=z1(z2z3)

z1(z2+z3)=z1z2+z1z3

共軛復(fù)數(shù)

當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，就稱其互為共軛復(fù)數(shù)。特別地，若復(fù)數(shù)的虛部不為零時(shí)，也稱作互為共軛虛數(shù)。對(duì)于復(fù)數(shù)z=a+bi(a、b∈R)，它的共軛復(fù)數(shù)用來表示。

共軛復(fù)數(shù)有如下基本性質(zhì)