什么是皮克定理？

1899年，猶太數(shù)學(xué)家皮克（Georg Alexander Pick）發(fā)現(xiàn)了一個被譽為“有史以來最重要的100個數(shù)學(xué)定理之一”的“皮克定理”（Pick's Theorem）。這個定理是這樣說的：給定頂點座標(biāo)均是整點（或正方形格子點）的簡單多邊形，其面積?和內(nèi)部格點數(shù)目?、邊界格點數(shù)目?的關(guān)系為?=?+?/???。

例如：

根據(jù)皮克定理，我們可以得到：

我們可以通過間接計算的方法驗證這個結(jié)果：

S＝S長方形－（S1＋S2＋S3＋S4＋S5）＝12×8－（1×4÷2＋6×4÷2＋6×2÷2＋6×4÷2＋7×3÷2）＝96－（2＋12＋6＋12＋10.5）＝96－42.5＝53.5。

最終的結(jié)果正如皮克定理所說的那樣，面積的計算居然可以通過數(shù)點數(shù)來得到，很神奇對不對？

問題的起源

皮克定理的發(fā)現(xiàn)要從古埃及說起。

古埃及人鋪地板時發(fā)現(xiàn)，用同樣大小且同一種的正多邊形鋪地板時，只能用正三角形、正方形與正六邊形，得到三種圖案。

古埃及人又從鋪地板中，發(fā)現(xiàn)三角形三個內(nèi)角和為一平角（即180°）。

我們也可以利用折紙的實驗，發(fā)現(xiàn)這個定理。即沿著DE、DG、EF把三角形折成長方形DEFG，那么∠?、∠?、∠?疊合于A’點，成為一個平角。

定理的證明

一般而言，數(shù)學(xué)是先有觀察與猜測（這個階段允許犯錯），然后才有試驗、修正與證明。數(shù)學(xué)絕不是突然從天上掉下一個公式或定理，然后就要我們?nèi)プC明。

為了證明公式，首先讓我們分析單純多邊形:

（1）最簡單的單純多邊形就是原子三角形（atomic or primitive triangles），亦即除了三個頂點之外，三邊及內(nèi)部皆不含格子點之三角形，見下圖，其面積皆為?/?，并且可用公式來計算：?/?+???=?/?。因此，對于原子三角形，上述公式成立。

（2）其次，我們觀察到對于任意的單純多邊形都可以先分割成三角形（即三角形化），再進一步分割成原子三角形的組合（這叫做原子化），見下圖。

（3）最后考慮任何單純多邊形Γ，將它分割成兩個單純多邊形Γ?與Γ?，見下圖。設(shè)Γ有?個邊界點、?個內(nèi)點，并且Γ?和Γ?分別有??個與??個邊界點、有??個與?2個內(nèi)點。再設(shè)Γ?與Γ?有?3個共同的邊界點。

則：

?=??+??????+?；?=??+??+????

所以：

?/?+???=(??/?+????)+(??/?+????)

即：Γ＝Γ?＋Γ?。

因此，我們發(fā)現(xiàn)，這個公式在分割下具有加性（additivity）。

現(xiàn)在換個角度再來證明一下這個定理的正確性。

重新整理皮克定理的證明思路，具體如下：

（1）首先，證明對長方形是成立的；

（2）接著，再證明對直角三角形是成立的；

（3）然后，繼續(xù)證明對任意三角形也是成立的；

（4）最后，證明對于兩個圖形的組合還是成立的。

假設(shè)這個公式是對的，我們先看第四步：證明對于兩個圖形的組合是成立的。

將兩個圖形組合在一起。注意：重合的兩個邊界點，分別多了1/2個點，所以最后是減去2，而不是減去1。

回頭證明第一部分：公式對長方形是成立的。以一個長為?、寬為?的長方形為例。

接著證明第二部分：對直角三角是成立的。以一個底為?、高為?的三角形為例。先假設(shè)斜邊上沒有邊界點（除了頂點）。

繼續(xù)?，F(xiàn)在考慮斜邊上有邊界點的情況。通過對第四種情況的證明，我們可以將三角形分割為長方形和三角形的組合。

最后證明第三種情況：皮克定理對任意三角形也是成立的。

這里，我們可以通過從長方形減去外圍三角形的方法得到證明。